3 - A dobra de Alcubierre - PARTE 2:
A partir da
equação:
É dado que a
geometria tridimensional das hipersuperfícies é sempre plana.
Sendo α = 1, implica que as curvas temporais normais a essas
superfícies são geodésicas. Ou seja, observadores Eulerianos estão em
queda livre.
Todavia, o espaço-tempo não é plano devido a preseca de
um desvio não uniforme. Apesar de tudo, desde que o vetor de desvio esvaneça,
para rs>>R, para qualquer tempo t o espaço-tempo será
essencialmente plano em todos os lugares, exceto para regiões com raio de ordem
R com centro no ponto (xs(t), 0,0).
A divisão 3+1 corresponde ao "corte" do
espaço-tempo em uma série de hipersuperfícies espaciais, cada uma rotulada por
um τ que representa acoordenada tempo.
Os diferentes procedimentos de divisão são mais
facilmente visualizadas com uma dimensão espacial suprimido usando um diagrama
de um espaço-tempo 2, com o tempo correspondente ao eixo vertical. As
hipersuperfícies espaciais são então fatias horizontais através do
espaço-tempo.
O espaço-tempo é descrito por observadores Eulerianos
sentados nessas hipersuperfícies com coordenadas espaciais constantes.
Consultar aqui para maiores
detalhes.
Dado que a 3 – geometria das
hipersuperfícies é plana, a informação sobre a curvatura do espaço-tempo está
contida no tensor de curvatura extrínseco Kij, que descreve como as
superfícies tridimensionais estão embutidas no espaço-tempo tetradimensional. O
tensor Kij é definido como:
Onde:
Di
= diferenciação covariante relativa á métrica tridimensional γij. A
partir das formas α
e γij, a expressão acima se reduz a:
A expansão θ de elementos de volume asociado aos observadores eulerianos é dada em termos de
Kij como:
Sendo a expressão esta dada por:
A
figura abaixo representa o gráfico de θ como uma função de x e de ρ = (y2 + z2)1/2,
no caso particular de: θ = 8 e R = vs = 1.
O centro da perturbação é a posição da nave espacial em xs(t),
onde claramente se pode ver que os elementos de volume se expandem atrás da
nave e se contraem na sua frente.
De modo a provar que a trajetória da nave é na verdade
uma curva de espaço tempo independentemente do valor de vs(t) há que
se substituir x = xs(t) na métrica abaixo:
Assim, para a trajetoria da nave, tem-se:
dτ = dt
Isso implica não somente que a nave se move sobre uma
curva temporal, mas também que seu tempo adequado é igual de modo a coordenar o
tempo. Logo, o tempo coordenado é igual ao tempo apropriado de observadores
distantes das regiões planas, o que permite concluir que os a nave não sofrerá
os efeitos da dilatação do tempo, enquanto se move, o que prova o movimento da
nave em uma geodésica.
Assim, o tempo adequado dos observadores eulerianos e dos
viajandes dentro da bolha será o mesmo, o que quer dizer que nenhuma
experiencia de dilatação temporal será registrada para ambos os observadores.
Isso significa que apesar de a coordenada de aceleração
poder ser uma função arbitrária do tempo, a aceleração adequada ao longo do
caminho da nave espacial será sempre nula.
Além disso, não é difícil de perceber que se θ for grande, as forças de maré na vizinhança imediata da
nave são muito pequenas, desde que R seja maior que o tamanho da nave espacial.
Claro que na região onde rs ∼R, as forças e maré serão realmente grandes.
Por
exemplo, dadas duas estrelas A e B separadas pela distância d em um
espaço-tempo plano. No tempo t0, a nave começa a se mover da A para
B com velocidade v < 1.
A
nave então pára à distância “d” de A, sendo que R << d << D.
No ponto de distãncia dada por “d”, a nave é puxada de a
com uma cordenada de acelerção que rapidamente muda de 0 para um valor
constante “a”. Desde que a nave parata do repouso (vs = 0) a
perturbação causada desenvolverá uma suavidade a partir do espaço tempo plano
conforme a equação dada por:
Quando a nave estiver na metade do caminho entre a e B a
perturbação será modificada de modo que a coordenada de aceleração mude de “a”
para “– a” , de modo na segunda parte da viagem, a coordenada de aceleração
se se converta na oposição da coordenada
da primeira parte da viagem.
Em seguida, a nave entrará em repouso a uma distãncia “d”
de B no momento em que a perturbção do espaço-tempo desaparecer, sendo vs = 0 mais uma vez. A jornada
está completa, sendo que a nave se move outra vez, no espaço tempo plano com
velocidade “v”.
Caso cada uma das mudanças na aceleração se proceder de
modo rápido, a coordenada total de tempo T decorrido em uma viagem de ida será dada por:
Dado que ambas as estrelas se situam no espaço plano, seu
tempo adequado é igual ao tempo coordenado. O tempo adequado medido na nave
será dado por:
Sendo:
γ= (1- v2)-1/2.
Posto isso, o tempo de dilatação surge apenas no estágio inicial e final da
viagem quando a nave se move no espaço-tempo plano. Assim caso a condição R
<< d << D se verifique, tem-se:
Com isso T será cada vez menor à medida que “a” aumente. Uma vez que a
viagem de ida e volta demora o dobro do tempo, pode-se retornar à estrela A
após um pequeno e adequado tempo arbitrário, considerando-se o ponto de vista
tando da nave quando da estrela.
A nave estão será capaz de viajar mais rápido que a velocidade da luz.
Entretanto a nave permanecerá sempre em uma trajetória temporal dentro de seu
cone de luz, sendo qua própria luz está sendo empurrada pela distorção do
espaço-tempo. O mecanismo de propulsão para que tal evento ocorra é a
velocidade de dobra.
Essa energia, noentanto, possui as seguintes desvantagens: viola as três
condições de energia: fraca, dominante e forte. Tanto a condição de energia
fraca como a domiante requerem que a densidade de energia seja positiva para
todos os observadores.
Em se procedendo o cáculo do tensor de einstein dado na métrica abaixo:
E, usando-se o
fato de que a velocidade tetradimensional dos observadores eulerianos é dada
por:
Isso leva a que
os observadores verão uma densidade de energia dada por:
Essa expressão é
negativa em todos os seus pontos, o que implica em dizer que as condições para
a energia fraca e dominante são violadas, o que também leva à violação da
energia forte.
Assim, para
Alcubierre, de forma a se proceder uma viagem maior que a velocidade da luz,
assim como ocorre com os wormholes, há a necessidade de que se tenha matéria
exótica, ignorada e proibida na física clássica.
Ao se valer de
matéria normal para proceder a viagem de dobra, os cálculos demonstraram que é
possível de acontecer a velocidade de dobra, porém havendo as seguintes
objeções:
- O nível de
energia necessário para tal seria equivalente á massa do planeta Júpiter,
convertida totalmente em energia.
- Para o motor
de dobra funcionar, deverá produzir densidade de energia negativa, o que não se
sabe se pode ser produzida em grandes quantidades, embora para quantidades
mínimas isso já tenha ocorrido.
Por essa razão
Alcubierre cita a “matéria exótica”.
Mas a teoria de
campos quânticos permite a existência de regiões com densidades negativas de
energia, como, por exemplo, no efeito Casimir (ver aqui
e aqui),
causado pelo fato do espaço vazio ter flutuações do vácuo,
pares de partículas virtuais - antipartículas virtuais
que continuamente se formam do vácuo
e retornam ao vácuo um instante depois.
Alcubierre anda
comenta que apesar de a métrica por ele utilizada ser hiperbólica e assim
conter curvas não casualmente fechadas, é possível e não muito difícil de se
construir um espaço-tempo que contenha essas curvas usando-se uma idéia similar
a por ele apresentada.
Em 2012, Sonny White revelou um
novo projeto para um propulsor de Alcubierre, que reduz a necessidade de
energia da massa-energia total de um planeta do tamanho de Júpiter, para a
massa-energia da Voyager-1 (700 kg).
De acordo com a pesquisa
preliminar da NASA, os requisitos de energia parecem ser um pouco viáveis se a
unidade é em forma de anel (como a imagem no início do artigo) em vez de um
disco plano.
Com os avanços recentes em física teórica,
especialmente trazidos pela Teoria-M (teoria esta que realiza permutações na
teoria das cordas), os pesquisadores Dr. Gerald Cleaver e o Dr. Richard Obousy calcularam
como a velocidade de dobra poderia funcionar sob as condições da Teoria-M, o
que apresentou bons resultados.
De acordo com os pesquisadores, sendo que a Teoria-M
demonstra ter o espaço-tempo 11 dimensões, o segredo da velocidade de dobra se
encontra na 11ª dimensão, de modo a criar-se energia escura.
A energia escura criada na 11ª dimensão da teoria-M é que
causaria a necessária expansão do continuum de espaço-tempo necessária a
propelir uma nave espacial á velocidade de dobra.
Dessa forma, não seria requerida qualquer matéria
exótica, mas energia de 100 kg de antimatéria que produziria 1019J
de energia para dobrar o espaço ao longo da nave, dentro das dimensões de um
ônibus espacial.
Assim, de modo a dobrar o continuum de espaço-tempo,
ampliando-o e encolhendo-o, seria necessário dobrar o pequeno e curvo espaço
submetido a dimensões subatômicas que teoricamente existem na teoria das
cordas, que criam o exato continuum de espaço-tempo descrito na TRG.
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